合肥步步升培训学校
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| 添加时间: 2012-3-7 16:45:32 来源: 作者:合肥步步升教育 点击数:4720 |
习题110
1 证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间
证明 设f(x)x53x1 则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数
因为f(1)3 f(2)25 f(1)f(2)0 所以由零点定理 在(1 2)内至少有一点(12) 使f()0 即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根
因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间
2 证明方程xasinxb 其中a0 b0 至少有一个正根 并且它不超过ab
证明 设f(x)asin xbx 则f(x)是[0 ab]上的连续函数
f(0)b f(ab)a sin (ab)b(ab)a[sin(ab)1]0
若f(ab)0 则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根
若f(ab)0 则f(0)f(ab)0 由零点定理 至少存在一点(0 ab) 使f()0 这说明x 也是方程xasinxb的一个不超过ab的根
总之 方程xasinxb至少有一个正根 并且它不超过ab
3 设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y 恒有|f(x)f(y)|L|xy| 其中L为正常数 且f(a)f(b)0 证明 至少有一点(a b) 使得f()0
证明 设x0为(a b)内任意一点 因为
所以
即
因此f(x)在(a b)内连续
同理可证f(x)在点a处左连续 在点b处右连续 所以f(x)在[a b]上连续
因为f(x)在[a b]上连续 且f(a)f(b)0 由零点定理 至少有一点(a b) 使得f()0
4 若f(x)在[a b]上连续 ax1x2 xnb 则在[x1 xn]上至少有一点 使
证明 显然f(x)在[x1 xn]上也连续 设M和m分别是f(x)在
[x1 xn]上的最大值和最小值
因为xi[x1 xn](1 in) 所以有mf(xi)M 从而有
由介值定理推论 在[x1 xn]上至少有一点 使
5 证明 若f(x)在( )内连续 且存在 则f(x)必在( )内有界
证明 令 则对于给定的 0 存在X0 只要|x|X 就有
|f(x)A| 即Af(x)A
又由于f(x)在闭区间[X X]上连续 根据有界性定理 存在M0 使|f(x)|M x[X X]
取Nmax{M |A| |A|} 则|f(x)|N x( ) 即f(x)在( )内有界
6 在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？ |
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